Notion de limite

Soit <m>f : bbR → bbR</m>
<m>x → f(x)=x^2</m> une fonction.

On remarque que lorsque <m>x</m> s'approche de <m>c</m> on a <m>f(x)</m> qui s'approche de <m>d</m> qu'on note :

Exemple :

On a :

et

Définition

Soit <m>f : bbR right bbR</m>, une fonction.

On dit que <m>lim{x right c}{f(x)}</m> existe si et seulement si <m>lim{x right c+}{f(x)}=lim{x right c-}{f(x)}=d</m>.

Exemple 3

Calculer la limite des fonctions suivantes :

Pour enlever l'indétermination, il faut factoriser dans le cas d'une fraction rationnelle.

En effet :

On peut simplifier si <m>(x+1) <> 0</m>.

Notion de continuité d'une fonction

Définition 1

On dit que <m>f</m> est continue au point <m>x=c</m> si et seulement si :

Exemple 1	Exemple 2	Exemple 3
<html><img src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/ets:limite_011a2.gif?w=&h=&cache=cache” class=“media” alt=“” /><br /><img src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/ets:limite_011_desc.gif?w=&h=&cache=cache” class=“media” alt=“” /></html>	<html><img src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/ets:limite_012.png?w=&h=&cache=cache” class=“media” alt=“” /><br /><img src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/ets:limite_012_desc.gif?w=&h=&cache=cache” class=“media” alt=“” /></html>	<html><img src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/ets:limite_013.png?w=&h=&cache=cache” class=“media” alt=“” /><br /><img src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/ets:limite_013_desc.gif?w=&h=&cache=cache” class=“media” alt=“” /></html>

Définition 2

Une fonction <m>f(x)</m> est continue sur son domaine si et seulement si <m>f</m> est continue en chaque point de ce domaine.

Les fonctions polynômes sont continues sur <m>bbR</m>.
Les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition.

Règle de l'Hospital

Pour lever les indéterminations dans les calculs de limites.

Si la limite <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:limite:limite001.gif” alt=“” /></html> et <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:limite:limite002.gif” alt=“” /></html>, alors <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:limite:limite003.gif” alt=“” /></html>.

Proche de <m>a</m>, <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:limite:limite005.gif” alt=“” /></html>.
On a la coordonnée <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:limite:limite007.gif” alt=“” /></html> :
<html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:limite:limite008.gif” alt=“” /></html>

Infini

Si la limite <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:limite:limite010.gif” alt=“” /></html> et <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:limite:limite011.gif” alt=“” /></html>, alors <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:limite:limite012.gif” alt=“” /></html>.

Exemple

<html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:limite:limite0150.gif” alt=“” /></html> ⇒ indéterminé.