Équations différentielles

Exemples d'équations différentielles (ED) :

Le taux de variation de la vitesse d'un corps en chute libre est proportionnel à son poids, soit
- $\omega$ le poids
- $\upsilon$ la vitesse
- $t$ le temps $${{dv}\over{dt}}\varpropto\omega\ \ \ \ \ \ \ {{dv}\over{dt}}=k\omega$$ où $k$ est la constante de proportionnalité.
le taux de variation de la température d'un liquide froid laissé dans un environnement chaud, à température constante, est proportionnel à la différence entre les températures. Soit
- $t$ le temps
- $T$ la température du liquide (variable)
- $T_E$ la température de l'environnement (ambiante) $${{dv}\over{dt}}\varpropto T_{E}-T\ \ \ \ \ \ \ \ \ {{dT}\over{dt}}=k\left({T_{E}-T}\right)$$

Rappel

Intégration: $\int{\sin^{2}(x)dx={{1}\over{2}}x-{{1}\over{2}}\sin(x)\cdot\cos }(x)+C$
Dérivation:
1. $\left({e^{2x}\cdot\cos\left({3x}\right)}\right)=2e^{2x}\cos(3x)-3e^{2x}\cdot\sin(3x)$
2. Trouvons $y'$ pour $e^{x+y}=y\cdot\sin(x)$ : $$y'={{e^{x+y}-y\cdot\cos(x)}\over{\sin(x)-e^{x+y}}}$$
3. Exponentielles et logarithmes: $$\int{{{1}\over{4}}dy=\int{{{1}\over{x}}-{{2}\over{x+5}}dx}}$$ $$\ln\left|{y}\right|+C_{1}=\ln\left|{x}\right|-2\ln\left|{x+5}\right|+C_{2}$$ $$\ln\left|{y}\right|=\ln\left|{x}\right|-2\ln\left|{x+5}\right|+C_{2}-C_{1}$$ $$\ln\left|{y}\right|=\ln\left|{x}\right|-2\ln\left|{x+5}\right|+C$$ Une constante quelconque plus ou moins une autre constante quelconque donne une autre constante quelconque.

Introduction aux équations différentielles

Définition de base : une équation différentielle (ED) est une équation qui en tient au moins une dérivée, ou au moins une différentielle.

Exemples :

${{d^{2}y}\over{dt^{2}}}=2\sin(t){{dy}\over{dt}}-5t\cdot y$ ⇒ $t$ : variable indépendante et $y$ variable dépendante.
$\left({5x-3y}\right)dx=(4x+y)dy$ ⇒ ED avec deux différentielles, on ne sait pas quelle variable est dépendante/indépendante.
$s''-4s'-5s-1$ ⇒ $s$ est la variable dépendante, mais on ne connait pas la variable indépendante.

Ordre

L'ordre d'une équation différentielle est l'ordre de la dérivée d'ordre supérieure. $$\left({5x-3y}\right)dx=\left({4x+y}\right)dy\rightarrow 5x-3y=\left({4x+y}\right){{dy}\over{dx}}$$ $$5x-3y{{dy}\over{dx}}=4x+y$$

Ordre linéaire

Définition : une équation différentielle d'ordre $n$ est linéaire si :

la variable dépendante et ses dérivées ne sont pas multipliés
la variable dépendante et ses dérivées apparaissent seulement au numérateur, affectés de l'exposant 1.
la variable dépendante et ses dérivées ne sont pas l'argument d'une fonction.

Homogène

Définition : une équation différentielle linéaire est homogène si tous les termes contiennent la variable dépendante ou une dérivée.

Autre définition simple : une équation différentielle linéaire est homogène si $f(t)=0$.

Coefficients constants

Définition : une équation différentielle linéaire est à coefficients constants si les coefficients de la variable dépendante sont constants.

Exemples

Équation	Var. indép.	Var. dép.	Ordre	Linéaire	Homogène	À coeff. constants
$x''+5x'-6x=2\sin(3t)$	$t$	$x$	2	oui	non : $2\sin(3t)$	oui
$y^{(3)}+x^{3}y=e^{-2x}$	$x$	$y$	3	oui	non : $e^{-2x}$	non : $x^3$
$y^{(3)}+y^{3}=e^{-2x}$	$x$	$y$	3	non	s/o	s/o
$y\cdot{\left({y'}\right)}^{2}+2xy'\cdot y=0$	$x$	$y$	1	non	s/o	s/o
${{di}\over{dt^{2}}}+4{{di}\over{dt}}+5i=0$	$t$	$i$	2	oui	oui	oui

Proportionnalité

Si $A$ est proportionnel à $B$, alors $A\varpropto B$
Si $A$ est inversement proportionnel à $B$, alors $A\varpropto{{1}\over{B}}$
Si $A$ est proportionnel à $B$ et $C$, alors $A\varpropto B\cdotC$
Si $A$ est proportionnel à $B$ et inversement proportionnel à $C$, alors $A\varpropto B\cdot{{1}\over{C}}$

Solution

Une solution d'une équation différentielle est une expression qui satisfait l'équation différentielle.

Solution particulière : une solution particulière est une solution qui ne contient aucune constante arbitraire. si l'équation différentielle est d'ordre $n$, alors cette solution satisfait $n$ conditions initiales.

Exemple de résolution

Un objet tombe en chute libre à partir d'une hauteur de 18m avec une vitesse initiale de 1m/s. Donnez l'expression de la hauteur de l'objet pendant sa chute. Quand touche-t-il le sol ?

Vitesse : $v={{dy}\over{dx}}$
$ma=-m\cdot g\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a={{dv}\over{dt}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{dv}\over{dt}}=-g\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{d^{2}v}\over{d^{2}t}}\equiv g=-9,81$
$y(0)=18\Rightarrow y=18$ si $t=0$
$v(0)=-1$ (1m/s vers le bas) $\Rightarrow$ si $t=0$ alors $v=-1$.

$$v=\int{{{d^{2}y}\over{dt^{2}}}dt=\int{-9,81dt}}$$ $$v={{dy}\over{dt}}=-9,81+C_{1}$$

Avec la calculatrice : zeros(-4.905*t^2-t+18,t), résultat : {-2.0203 or 1.8164}.

Donc, le temps requis pour l'objet pour atteindre le sol est de 1,8164 seconde.

Solution générale

La solution générale d'une ED d'ordre <m>n</m> est une solution qui contient <m>n</m> constantes arbitraires essentielles.

Exemple:

Avec <m>C_1</m> et <m>C_2</m> on considère qu'une constante additionnée ou soustraite à une autre constante constitue qu'une seule constante.

Peut-on réduire le nombre de constantes arbitraires ? L'expression est solution d'une ED de quelle ordre ?

x=e-3 (c, Îc) = c. c-'+ 2-3 air, ED d'ordre 1
x=c, e ⇐ +12 = C, l't. Ci = C,..??-32-t-C, est, est solution du m'En déche L
x = c, est + C, e-3 t = e-'+ (C, est 1-(e) ⇒ non, solution d'une ED d'ordre 2

Équation différentielle directement intégrable

Une équation différentielle est directement intégrable si elle est de forme, ou peut se ramener à la forme :

Exemple :

Séries de puissance

Séries de puissance (PDF)