Table des matières

Calcul intégral
- Utilisation de la table d'intégrales
Théorème fondamental du calcul
- Exemples
Techniques d'intégration

Calcul intégral

Utilisation de la table d'intégrales

Exemple	Formule(s) utilisée(s)
	#2
	#1, n=-2
	#1, n=-1/2
	#15, <m>a	2=9, a=3</m>
	#17, <m>a	2=9, a=3</m>
	#16, <m>a	2=9, a=3</m>

Théorème fondamental du calcul

<html>

</html>Si <m>f</m> est une fonction continue dans une intervale <m>I</m> qui contient <m>a</m>, et si

où <m>x in I</m>, alors

c'est-à-dire que <m>g</m> est une primitive.<html>

</html>

Exemples

Prenons par exemple :

Nommons :

Donc, <m>sin(x)</m> est une primitive de <m>cos(x)</m>.

Prenons maintenant :

Voici quelques exemples de fonctions qui ne présentent pas de primitives simples :

Techniques d'intégration

Changement de variable

Définition :

Soit <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:calcul_integral:022.gif” alt=“” /></html>.
Soit <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:calcul_integral:deltax.gif” alt=“” /></html> une variation de <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:calcul_integral:x.gif” alt=“” /></html>.

Alors, <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:calcul_integral:dx_deltax.gif” alt=“” /></html>, <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:calcul_integral:dx.gif” alt=“” /></html> est appelée la différentielle de <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:calcul_integral:x.gif” alt=“” /></html>. De même, <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:calcul_integral:dy.gif” alt=“” /></html> : différentielle de <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:calcul_integral:y.gif” alt=“” /></html> → <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:calcul_integral:dy_fxdx.gif” alt=“” /></html>.

Si <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:calcul_integral:deltax-_0.gif” alt=“” /></html>, alors <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:calcul_integral:dy-deltay.gif” alt=“” /></html>

Exemple

Si <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:calcul_integral:y_e2x.gif” alt=“” /></html>, alors <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:calcul_integral:dy_e2x_2dx.gif” alt=“” /></html>
Si <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:calcul_integral:u_sin4x.gif” alt=“” /></html>, alors <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:calcul_integral:du_cos4x4dx.gif” alt=“” /></html>
Si <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:calcul_integral:du_cos4x4dx.gif” alt=“” /></html>, alors <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:calcul_integral:du_1tdt.gif” alt=“” /></html>

Si <m>u=e^{2x}</m>, alors <m>du=2e^{2x}dx</m>.

On va montrer que <html><img style=“vertical-align:middle;” src=“/wiki/lib/exe/fetch.php/math:calcul_integral:026.gif” alt=“” /></html> :

En effet, <m>1/2e^{4x}</m> est une primitive de <m>2e^{4x}</m>.

Exemples

Les CV sur les signes d'égalité signifient qu'on applique un changement de variable, et les VC signifie qu'on replace les variables.

Changement de variable avec complétion de carré

<html>

Rappel de la formule pour faire la complétion de carré :<br/></html><html>

</html>

Exemple 1	Exemple 2
<html> On effectue la complétion de carré :<br/></html><html> </html> On pose <m>u=x+2</m> et <m>du=dx</m>.	<html> On effectue la complétion de carré :<br/></html><html> </html> On pose <m>u=x-3</m> et <m>du=dx</m>.
Exemple 3	Exemple 4
<html> On effectue la complétion de carré :<br/></html><html> </html> On pose <m>u=t-3</m> et <m>du=1dt</m>. On pose <m>v=u	2+1</m> et <m>dv=2udu</m>, <m>1/2dv=udu</m>.	<html> On effectue la complétion de carré :<br/></html><html> </html> On pose <m>u=y+2</m> → <m>y=u-2</m> et <m>du=1dy</m>. On pose <m>v=u	2+4</m> et <m>dv=2udu</m>, <m>1/2dv=udu</m>.
Exemple 5
<html> On effectue la complétion de carré :<br/></html><html> </html> On pose <m>u=x-4</m> → <m>x=u+4</m> et <m>du=dx</m>. On pose <m>v=16-u	2</m> et <m>dv=-2udu</m>, <m>-1/2dv=udu</m>.

Intégration par substitution

Intégration par parties

<html>

</html><html>

</html>

Exemple 1	Exemple 2
On pose <m>u=x</m>, alors <m>dv=e	x dx</m>. On calcule <m>du=dx</m> et <m>v=int{}{}{e	x dx}=e	x</m>	On pose <m>u=sin(x)</m>, alors <m>dv=xdx</m>. On calcule <m>du=cos(x)dx</m> et <m>v=int{}{}{xdx}=1/2x	2</m> Le résultat obtenu est plus complexe. On recommence : on pose <m>u=x</m>, alors <m>dv=sin(x)dx</m>. On calcule <m>du=dx</m> et <m>v=int{}{}{sin(x)dx}=-cos(x)</m>.
Exemple 3	Exemple 4 (avec changement de variable)
On pose <m>u=ln(x)</m>, alors <m>dv=dx</m>. On calcule <m>du=1/x dx</m> et <m>v=int{}{}{dx}=x</m>	On pose <m>u=arctan(x)</m>, alors <m>dv=dx</m>. On calcule <m>du=1/{1+x	2} dx</m> et <m>v=int{}{}{dx}=x</m> <html> </html> Pour la deuxième partie <m>int{}{}{1/{1+x^2}dx}</m>, on effectue un changement de variable. On pose <m>w=1+x^2</m>, <m>dw=2xdx</m> ou <m>1/2dw=dx</m>. <html> </html>

Fractions partielles

En résolvant on obtient :

Par conséquent,

Ensuite, on peut utiliser la technique pour les fonctions rationnelles.