Table des matières

Définition d'une fonction
Le domaine et l'ensemble image d'une fonction
La représentation graphique d'une fonction
Les zéros d'une fonction

Définition d'une fonction

Une fonction <html>&fnof;</html> d'un ensemble <m>A</m> vers un ensemble <m>B</m> est une relation qui, à chaque élément <m>x in A</m>, associe au plus un élément <m>y in B</m>.

L'ensemble <m>A</m> est l'ensemble de départ de la fonction. L'ensemble <m>B</m> est son ensemble d'arrivée. <m>x</m> est la variable indépendante. <m>y</m> est la variable dépendante : c'est l'image de x par la fonction <m>f</m>

<m>f</m> est le nom de la fonction.

Si <m>x</m> est un élément de l'ensemble de départ et <m>y</m> l'élément correspondant de l'ensemble d'arrivée, on décrit la fonction comme suit :
<m>f : A right B</m>
<m>x right y = f</m>(<m>x</m>)

Il faut lire « <m>f</m> est la fonction de <m>A</m> vers <m>B</m> qui, à <m>x</m>, associe <m>y</m> égale <m>f</m> de <m>x</m> ».

Lorsque les ensembles <m>A</m> et <m>B</m> sont connus, on écrit simplement <m>y = f</m>(<m>x</m>).

L'équation <m>y = f</m>(<m>x</m>) est la règle de correspondance de la fonction qui précise la relation entre <m>y</m> et <m>x</m>. Cette règle indique comment calculer la valeur de <m>y</m> correspondant à une valeur de <m>x</m> donnée. <m>x</m> est la variable indépendante : on peut lui donner n'importe quelle valeur de l'ensemble <m>A</m>. <m>y</m> est la variable dépendante : sa valeur dépend de celle qu'on a donnée à <m>x</m>.

Lorsque l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée sont tous deux l'ensemble des nombre réels <m>bbR</m>, on dit simplement que <m>f</m> est une fonction réelle.

Exemples

Soit une relation qui, à chaque nombre réel, associe son carré. C'est une fonction, puisque chaque nombre réel possède un seul carré. On peut exprimer cette fonction de l'une ou l'autre des façons suivantes :
<m>f:bbR right bbR</m> ou <m>y=x</m> ou <m>f(x) = x^2</m>
<m>x right x^2</m>

On peut traduire cette règle de correspondance comme suit : pour chaque nombre réel <m>x</m>, la fonction <m>f</m> calcule son carré appelé <m>y</m>.

Ainsi, si <m>x = 5</m>, on obtient :
<m>f(x) = x^2</m> <m>f(5)=5 =25</m>

25 est l'image de 5 par la fonction <m>f</m>.

<m>f(-8) = (-8)^2 = 64</m> est l'image de -8 par la fonction <m>f</m>.

<m>f(a+1)=(a+1)^2 =a^2 +2a+1</m> est l'image de <m>(a+1)</m> parla fonction <m>f</m>.

La relation « <m>y</m> est plus grand que <m>x</m> » n'est pas une fonction réelle (de <m>bbR</m> vers <m>bbR</m>), puisqu'on peut trouver plus d'un nombre réel <m>y</m> plus grand qu'une valeur de <m>x</m>.

Si <m>x = 10</m>, <m>y</m> peut prendre toutes les valeurs réelles supérieures à 10.

Par exemple, <m>y=11</m>, <m>y=243</m> ou <m>y=10,001</m> sont toutes des valeurs qui respectent la relation « <m>y</m> est plus grand que 10 ».

Si <m>A ={1, 2, 3, 4}</m> et <m>B = {0, 2, 4, 8, 16}</m> sont respectivement l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée, la règle de correspondance <m>f(x) = 2x</m> décrit une fonction de <m>A</m> vers <m>B</m>.

<m>f(1) = 2</m>, <m>f(2) = 4</m> et <m>f(4) = 8</m>.

Les éléments 1, 2 et 4 de l'ensemble de départ A ont chacun une seule image dans l'ensemble d'arrivée B. Le nombre 3 n'a pas d'image dans B. Chacun des éléments de A possède donc au plus une image dans B.

Soit <m>f(x)={3*x^2-5x+1}/{4-x}</m> la règle de correspondance d'une fonction réelle.

Pour évaluer l'image d'un nombre réel par cette fonction, il s'agit de remplacer chaque <m>x</m> par ce nombre dans la règle de correspondance de <m>f</m>.

<m>f(7)={3(7)^2-5(7)+l}/{4-7}= -113/3</m>
<m>f(-2)={3(-2)^2-5(-2)+1}/{4-(-2)}=23/6</m>
<m>f(4)={3(4)^2-5(4)+1}/{4-4}</m> n'est pas défini, puisqu'on ne peut pas diviser par 0.
<m>f©={3c^2-5c+1}/{4-c}</m> à la condition que <m>c<>4</m>.

On peut désigner une fonction, sa variable indépendante et sa variable dépendante, à l'aide d'autres symboles que <m>f</m>, <m>x</m> et <m>y</m>.

Les règles de correspondance ci-dessous désignent toutes la fonction qui, à chaque nombre réel, associe la somme de son carré et de son triple :

<m>y=f(x)=x^2 +3x</m>
<m>b=g(a)=a^2 +3a</m>
<m>N=p(t)=t^2 +3t</m>

On n'obtient pas une fonction différente en modifiant le nom de la fonction (f, g ou p), le nom de la variable dépendante (y, b ou N) et le nom de la variable indépendante (x, a ou t), puisque dans tous les cas la règle est la même : on additionne le carré et le triple de chaque nombre réel.

Si <m>x=2</m>, <m>y=f(2)=2^2+3(2)=10</m>
Si <m>a=2</m>, <m>b=f(2)=2^2+3(2)=10</m>
Si <m>t=2</m>, <m>N=f(2)=2^2+3(2)=10</m>

Lorsque la résolution d'un problème fait appel à plus d'une fonction, on doit donner des noms différents à ces fonctions.

Le domaine et l'ensemble image d'une fonction

Définition du domaine

Le domaine d'une fonction est l'ensemble des éléments de l'ensemble de départ auxquels la fonction associe une image. Le domaine d'une fonction <m>f</m> est désigné par <m>dom(f)</m>.

Le domaine est un sous-ensemble de l'ensemble de départ <m>A</m> et peut lui être égal. dom(f) <html>&sube;</html> A.

Définition de l'ensemble image

L'ensemble image d'une fonction est l'ensemble des éléments de l'ensemble d'arrivée qui sont l'image par la fonction d'un élément de l'ensemble de départ. L'ensemble image d'une fonction <m>f</m> est désigné par <m>ima(f)</m>.

L'ensemble image est un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée <m>B</m> et peut lui être égal. ima(f) <html>&sube;</html> B.

<html><table border=“0” cellspacing=“20”><tr> <td>Ensemble de départ : A {a, b, c, d}<br/> Domaine: dom(f) = {b, c, d}<br/> <i>dom(f) &sube; A</i></td> <td>Ensemble d'arrivée : B = {1, 2, 3, 4}<br/> Ensemble image: ima(f) = {1, 3}<br/> <i>ima(f) &sube; B</i></td></tr></table></html>

Principes

Lorsqu'on cherche le domaine d'une fonction algébrique, il faut appliquer les principes suivants

On peut toujours additionner, soustraire ou multiplier deux nombres réels quelconques.
On peut diviser deux nombres réels quelconques à la condition de ne pas diviser par 0.
On ne peut extraire une racine paire (racine carrée, quatrième, sixième, etc.) que d'un nombre positif ou nul.
On peut extraire une racine impaire (racine cubique, cinquième, etc.) d'un nombre réel quelconque.

Ainsi, pour toute fonction algébrique, c'est-à-dire une fonction obtenue par une suite d'opération (+, -, ×, /, <html>√</html>, <m>root{n}{}</m>) sur des polynômes, le domaine correspond aux ensembles suivants:

dom(f) = { <m>x</m> <html>∈</html> <m>bbR</m> | aucun dénominateur n'est égal à 0 et aucune expression sous un radical pair n'est négative }.
dom(f) = <m>bbR</m> \ {<m>x</m> qui annulent un dénominateur ou qui rendent négative une expression soi un radical pair}.

La représentation graphique d'une fonction

Le graphe d'une fonction

Le graphe d'une fonction <m>f</m> est l'ensemble des couples (<m>x</m>, <m>y</m>) tels que <m>y=f(x)</m>. <m>dom(f)</m> est l'ensemble des premières composantes des couples du graphe et <m>ima(f)</m> est l'ensemble de leurs secondes composantes.

Un ensemble de couples constitue le graphe d'une fonction si les premières composantes sont toutes différentes.

En effet, si deux couples distincts ont la même première composante, c'est que deux valeurs différentes de <m>y</m> sont associées à une même valeur de <m>x</m>. Il ne s'agit donc pas d'une fonction.

Le graphique sagittal

Un graphique sagittal est un diagramme qui illustre une relation à l'aide de flèches. Le mot sagittal vient du latin sagitta, qui signifie flèche.

Le graphique sagittal d'une fonction est un diagramme qui relie, à l'aide de flèches, chaque élément du domaine à l'élément de l'ensemble image qui lui est associé.

<m>dom(f)</m> est l'ensemble des points de départ des flèches.
<m>ima(f)</m> et l'ensemble des points d'arrivée des flèches.

Un graphique sagittal représente une fonction si chaque élément de l'ensemble de départ est l'origine d'au plus une flèche.

Si deux flèches partent d'un même nombre, c'est que deux éléments de l'ensemble d'arrivée lui sont associés. Il ne s'agit donc pas d'une fonction.

$Exemple de graphe sagittal$

Le graphique cartésien

À chaque couple (x, y) du graphique d'une fonction, on peut associer un point (x, y) du plan cartésien, x étant son abscisse et y son ordonnée.

L'ensemble des points correspondant à tous les couples du graphe d'une fonction f constitue le graphique cartésien ou graphique de la fonction. Le qualificatif « cartésien » réfère au philosophe et mathématicien René Descartes.

Le graphique d'une fonction dépend à la fois de son domaine et de sa règle de correspondance.

Exemples

Soit la fonction <m>y=f(x)=x+2</m>, où <m>dom(f)=delim{lbrace}{-4, -1, 0, 3, 5}{rbrace}</m>.

Le graphique ci-contre est uniquement constitué des points (-4, -2), (-1, 1), (0, 2) et (3, 5) puisque le domaine ne contient que quatre nombres. Les abscisses correspondent aux valeurs du domaine et on calcule chaque ordonnée au moyen de la règle de correspondance <m>y=x+2</m> en additionnant 2 à l'abscisse.

Soit la fonction <m>y=g(x)=x+2</m>, où <m>dom(f)=bbR</m>.

Puisque le domaine est <m>bbR</m>, chaque nombre réel est l'abscisse d'un point du graphique. Le graphique de la fonction est donc constitué d'une infinité de points, un pour chaque nombre réel.

L'ordonnée de chaque point est déterminée par la règle de correspondance de la fonction <m>y=x+2</m>. On obtient l'ordonnée y en additionnant 2 à l'abscisse du point.

Le tableau de valeurs ci-dessous donne quelques exemples de points du graphique.

<m>x</m>	-7	-3	0	3	8
<m>y=x+2</m>	-5	-1	2	5	10
Point (<m>x</m>, <m>y</m>)	(-7, -5)	(-3, -1)	(0, 2)	(3, 5)	(8, 10)

Le graphique de la fonction <m>g</m> inclut les quatre points du graphique de la fonction <m>f</m> de l'exemple précédent, puisque la règle de correspondance est la même.

Le graphique ci-contre représente la fonction <m>f(x)=x^2-4</m>, où <m>dom(f)=delim{]}{3, 3}{]}</m>.

Puisque le domaine est l'intervalle ]-3, 3], le graphique est constitué d'une infinité de points, soit tous ceux dont l'abscisse appartient à cet intervalle.

D'après la règle de correspondance de la fonction, l'ordonnée de chaque point est obtenue en soustrayant 4 du carré de l'abscisse.

<m>f(-3)</m> n'est pas défini, puisque <m>-3 ~ notin ~ dom(f)</m>. On place un point vide () à cette extrémité graphique. Puisque <m>3 ~ in ~ dom(f)</m>, on peut calculer <m>f(3)=32-4=5</m> et on place un point plein () à l'autre extrémité pour indiquer que le point (3, 5) appartient à la courbe.

On constate que le graphique coupe l'axe des <m>x</m> aux points (-2, 0) et (2, 0). Ces points correspondent aux valeurs de <m>x</m> telles que <m>y=x^2-4=0</m>. Les ordonnées des points sont négatives lorsque <m>x^2-4<0</m>, soit si <m>-2<x<2</m>. Les ordonnées sont positives lorsque <m>x^2-4>0</m>, soit si <m>-3<x←2</m> ou si <m>2<x⇐3</m>.

Le graphique est symétrique par rapport à l'axe des <m>y</m>. On observe, par exemple, que

<m>f(-1)=f(l)=-3</m>, <m>f(-1/2)=f(1/2)=-15/4</m>, <m>f(-2)=f(2)=0</m>, etc.

De façon générale, <m>f(a)=f(-a)=a^2-4</m>.

Un tableau de valeurs est utile pour obtenir quelques points du graphique et en tracer une esquisse, mais il ne permet pas de connaître avec certitude la forme de la courbe entre ces points. Les prochaines sections présentent plusieurs modèles de fonctions courantes et les caractéristiques leurs graphiques.

Conventions graphiques

On indique le nom de la variable et l'unité de mesure sur chacun des axes.
Lorsqu'une fonction est définie sur un intervalle, on indique par un point plein () un intervalle fermé et par un point vide () un intervalle ouvert.

Test de la droite verticale

Un graphique cartésien est le graphique d'une fonction si une droite verticale ne le coupe jamais en plus d'un point.

Le domaine du graphique

Le domaine d'une fonction est l'ensemble des abscisses des points de son graphique. Pour trouver le domaine, on projette verticalement tous les points du graphique sur l'axe horizontal.

Exemple Soit la fonction <m>f</m> représentée par le graphique ci-contre.

dom(f) = ]-5, -3] <html>∪</html> {-2} <html>∪</html> [0, +<m>infty</m>[, l'ensemble des abscisses des points de son graphique.

L'ensemble image du graphique

L'ensemble image d'une fonction est l'ensemble des ordonnées des points de son graphique. Pour trouver l'ensemble image, il suffit de projeter horizontalement tous les points du graphique sur l'axe vertical.

Exemple

Soit la fonction f représentée par le graphique ci-contre.

ima(f) = ]-<m>infty</m>, -1] <html>∪</html> ]1, 4], l'ensemble des ordonnées des points de son graphique.

Les zéros d'une fonction

Les zéros d'une fonction <m>y=f(x)</m> sont les valeurs de <m>x</m> pour lesquelles <m>f(x) = 0</m>. <m>z</m> est un zéro de la fonction <m>f</m> si <m>z in dom(f)</m> et <m>f(z) = 0</m>.

Exemple 1
Soit la fonction <m>f(x)=2x^3-3x^2+5x+38</m>, où <m>dom(f) = bbR</m>.

-2 est un zéro de la fonction <m>f</m>, car <m>f(-2) = 2(-2)^3 - 3(2)^2 + 5(-2) + 38 = 0</m>.
0 n'est pas un zéro, car <m>f(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 + 5(0) + 38 = 38</m>, donc <m>f(0) <> 0</m>.

Exemple 2
Soit la fonction <m>g(x) = {x+1}/{x-3}</m>, où <m>dom(g) = bbR \</m> {3}.

-1 est un zéro de la fonction <m>g</m>, car <m>g(-1) ={-1+1}/{-1-4}=0</m>
4 n'est pas un zéro, car <m>g(4)= {4+1}/{4-1} = 5</m>, donc <m>g(4) <> 0</m>.
3 n'est pas un zéro, car 3 <m>dom(g)</m>.

La recherche des zéros d'une fonction sert à résoudre plusieurs modèles d'équations et également de trouver les points d'intersection du graphique avec l'axe horizontal.