Les équations
Une équation est une égalité qui contient une ou plusieurs variables. Selon la valeur attribuée à chacune des variables, une équation devient une égalité vraie ou une égalité fausse.
Le domaine d'une équation est l'ensemble des valeurs qu'on peut attribuer à sa ou ses variables.
Les valeurs du domaine qui transforment une équation en une égalité vraie sont les solutions nombre réel de l'équation. L'ensemble de toutes les solutions est appelé ensemble solution.
Deux équations sont dites équivalentes si elles ont le même ensemble solution.
Une équation qui est vraie pour toutes les valeurs de son domaine est une identité.
Lorsqu'on cherche le domaine d'une équation, il faut se rappeler ces deux principes :
On ne peut jamais diviser par 0;
On ne peut pas extraire une racine paire d'un nombre négatif.
Exemples
<m>x+2 = 5</m> est une équation du premier degré à une variable, dont le domaine est <m>bbR</m>. <m>x = 3</m> est son unique solution, puisque 3 est la seule valeur qu'on peut donner à x pour obtenir une égalité vraie. Son ensemble solution est donc { 3 }.
<m>x+y = 10</m> est une équation du premier degré à deux variables, qui possède une infinité de solutions, soit tous les couples de nombres réels dont la somme est 10. Son ensemble solution est S = {(x, y) lx + y = 10). On a entre autres (2, 8) € S, (-25, 35) E S, (1,23; 8,77) € S, etc.
Les équations <m>x+2=5</m>, <m>4x-5=7</m> et <m>x=3</m> sont équivalentes puisqu'elles ont toutes trois la même solution, soit <m>x=3</m>. En effet, <m>3+2=5</m>, <m>4(3)-5=7</m> et <m>3=3</,>.
<m>(x+1)^2 =x^2 + 2x +1</m> est une identité puisqu'elle devient une égalité vraie quelle que soit la valeur de x. Son ensemble solution est <m>bbR</m>. On utilise parfois le symbole « <html>≡</html> » pour désigner une identité. On écrira alors <m>(x+1)^2</m><html>≡</html><m>x^2 + 2x + 1</m>.
<m>{x+7}/{x-4} = {2x-3}/{x}</m> est une équation dont le domaine est <m>bbR</m> \ {0, 4}, puisque les valeurs 0 et 4 annulent les dénominateurs et qu'on ne peut pas diviser par 0.
<m>sqrt{4-5} = 5</m> est une équation dont le domaine est {<m>x in bbR delim{|} x>=4</m>}. Il faut exclure les valeurs de x inférieures à 4, puisque <m>(x-4)</m> serait alors négatif et qu'on ne peut pas extraire la racine carrée d'un nombre négatif. La recherche du domaine d'une équation comportant une racine paire nécessite souvent la résolution d'une inéquation. Il est tout de même possible de trouver la solution de l'équation <m>sqrt{4-5} = 5</m> par simple raisonnement. Puisque <m>sqrt{25} = 5</m>, on obtient <m>sqrt{29-4} = 5</m>. La solution de l'équation est alors 29.
<m>root{5}{x^2+x-3} = x+2</m> est une équation dont le domaine est <m>bbR</m>. En effet, on peut trouver la racine cinquième (ou toute racine impaire) de n'importe quel nombre réel.
Les équations du premier degré à une variable
Une équation du premier degré a une variable est une équation qui contient une seule variable, toujours affectée de l'exposant 1 et n'apparaissant pas au dénominateur ni sous un radical.
Le domaine d'une équation du premier degré à une variable est <m>bbR</m>, à moins que le contexte n'oblige à le restreindre.
Exemples
<m>7x-1=8x+14</m> est une équation du premier degré à une variable.
<m>{3x+2}/5=4</m> est une équation du premier degré à une variable.
<m>ax + b = cx- d</m>, où <m>a</m>, <m>b</m>, <m>c</m> et <m>d</m> sont des constantes réelles, est aussi une équation du premier degré à une variable.
<m>3x^2 - 5x + 7 = 4x - 3</m> est une équation du second degré, puisque la variable x est affectée à l'exposant 2.
<m>{x+1}/{x-2}= {4x}/5</m> n'est pas une équation du premier degré, puisque la variable <m>x</m> apparaît au dénominateur.
<m>sqrt{15x-13} = x + 14</m> n'est pas une équation du premier degré, puisqu'elle comporte une racine carrée d'un polynôme.
On peut résoudre une équation du premier degré à une variable en cherchant une équation équivalente de la forme <m>x = c</m> (où <m>c</m> est une constante). La solution de l'équation est alors <m>c</m> et cette solution est unique.
Les inéquations
Une inéquation est une inégalité qui contient une ou plusieurs variables. Selon la valeur attribuée à chacune des variables, une inéquation devient une inégalité vraie ou une inégalité fausse.
Le domaine d'une inéquation est l'ensemble des valeurs qu'on peut attribuer à sa ou ses variables.
On appelle solution d'une inéquation toute valeur par laquelle on peut remplacer la variable pour obtenir une inégalité vraie.
L'ensemble de toutes les solutions d'une inéquation est son ensemble solution.
Exemples
<m>2x+1 < 7</m> est une inéquation à une variable dont le domaine est <m>bbR</m>. <m>x=5</m> n'est pas une solution de cette inéquation, car <m>2*5+1<7</m> est une inégalité fausse. <m>x=1</m> est une solution, car <m>2*1+1<7</m> est une inégalité vraie.
La prochaine section explique les méthodes permettant de trouver toutes les solutions de cette inéquation.
Les propriétés des inéquations
Lorsqu'on additionne un même nombre réel aux deux membres d'une inéquation, on obtient une inéquation équivalente.
<m>A<B</m> est équivalente à <m>A + C < B + C</m> pour tout nombre réel <m>C</m>.
<m>A>B</m> est équivalente à <m>A + C > B + C</m> pour tout nombre réel <m>C</m>.
Exemple → Si <m>x < 7</m>, alors <m>x + 5 <7 + 5</m>. Ces deux inéquations ont les mêmes solutions, soit tous les nombres réels inférieurs à 7.
Lorsqu'on soustrait un même nombre réel aux deux membres d'une inéquation, on obtient une inéquation équivalente.
<m>A<B</m> est équivalente à <m>A - C < B - C</m> pour tout nombre réel <m>C</m>.
<m>A>B</m> est équivalente à <m>A - C > B - C</m> pour tout nombre réel <m>C</m>.
Exemple → Les inéquations <m>2x+1 > 8</m> et <m>2x>7</m> sont équivalentes, puisque la seconde est obtenue à partir de la première en soustrayant 1 aux deux membres de l'inéquation.
Lorsqu'on multiplie les deux membres d'une inéquation par un même nombre réel positif, on obtient une inéquation équivalente.
<m>A<B</m> est équivalente à <m>AC < BC</m> pour tout nombre réel positif <m>C</m>.
<m>A>B</m> est équivalente à <m>AC > BC</m> pour tout nombre réel positif <m>C</m>.
Exemple → Si <m>x + 1 < 10</m>, alors <m>3(x + 1) < 30</m>. Tous les nombres réels inférieurs à 9 sont des solutions des deux inéquations.
Lorsqu'on multiplie les deux membres d'une inéquation par un même nombre réel négatif, on inverse le sens de l'inégalité.