Table des matières
Les ensembles
Appartient, n'appartient pas
On écrit $a in A$, $a$ étant un élément et $A$ étant l'ensemble. On dit que « <m>a</m> appartient à <m>A</m>. Considérant que l'ensemble <m>A</m> est décrit comme suit : <m>A = {</m>5, 10, 15, 20, 25<m>}</m>. On peut dire que :
- $5 \in A$
- $15 \in A$
- $32 \notin A$
- $25 \in {5, 10, 15, 20, 25}$
Équivalence
Si <m>A = {</m>45, 23, 87, 3<m>}</m> et que <m>B = {</m>23, 45, 3, 87<m>}</m>, alors <m>A = B</m>. Les ensembles sont égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments, peu importe l'ordre.
Sous-ensemble et super-ensemble
L'ensemble A est inclu dans l'ensemble B si tous les éléments de A sont également dans l'ensemble B. On écrit A ⊆ B, A est un sous-ensemble de B. B ⊇ A se lit « B est un super-ensemble de A. »
Les symboles ⊂ et ⊃ peuvent être utilisés pour remplacer les symboles ⊆ et ⊇.
Les ensembles de nombres
- Les nombres naturels → <m>bbN = {</m>0, 1, 2, 3, …<m>}</m> est l'ensemble des nombres entiers positifs ou nuls.
- Les nombres entiers → <m>bbZ = {</m>…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …<m>}</m> est l'ensemble des nombres entiers, positifs, négatifs ou nuls.
- Les nombres rationnels → <m>Q = delim{lbrace}{a/b}{|} a in bbZ, b in bbZ et b <> 0 {rbrace}{</m> est l'ensemble des nombres qui peuvent s'exprimer sous forme d'un quotient de deux entiers. Tout nombre rationnel possède une représentation décimale qui est soit finie, soit infinie périodique.
- Les nombres irrationnels → <m>Q'</m> est l'ensemble des nombres dont la représentation décimale est infinie et non périodique. Les nombres irrationnels ne peuvent pas s'exprimer sous forme d'un quotient de deux entiers. <m>pi</m> est un exemple de nombre irrationnel.
- Les nombres réels → <m>bbR</m> est l'ensemble de tous les nombres qui sont rationnels et irrationnels. <m>bbR = Q union Q prime</m>
Ensemble vide
L'ensemble vide ne contient aucun élément. On le représente par <m>{ }</m> ou par <m>varnothing</m>. Si l'on désigne <m>{ varnothing }</m>, c'est comme mettre une boite vide dans une boite, donc un ensemble qui contient un ensemble vide.
Fractions
- Les fractions <m>a/b</m> et <m>c/d</m> sont équivalentes si et seulement si <m>ad = bc</m>.
- Les fractions <m>a/b</m> et <m>c/d</m> sont équivalentes si et seulement si on obtient la seconde en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur de la première par un même nombre.
- Une fraction <m>a/b</m> est dite irréductible lorsque son dénominateur et son numérateur n'ont aucun autre facteur commun que 1.
Addition et soustraction de fraction
- Trouver le plus petit dénominateur commun (le PPCM de leur dénominateurs).
- Remplacer chaque fraction par une fraction équivalente ayant comme dénominateur ce PPCM.
- Additionner ou soustraire les numérateurs de ces nouvelles fractions. Le dénominateur du résultat est le dénominateur commun.
- Simplifier si possible le résultat.
Multiplication
Pour multiplier deux fractions, on multiplie respectivement entre eux leur numérateurs et leurs dénominateurs et on simplifie, si possible.
<m>{a/b} * {c/d} = {a*c}/{b*d}</m>
Division
Pour diviser deux fractions, on multiplie la première par l'inverse de la seconde et on simplifie, si possible.
<m>{a/b} / {c/d} = a/b</m><html>÷</html><m>c/d = {a*b}/{d*c} = {a*d}/{b*c}</m>
Si <m>b<>0</m>, <m>c<>0</m> et <m>d<>0</m>.
Les polynômes
L'algèbre permet d'exprimer de façon symbolique une suite d'opérations sur des quantités variables ou constantes.
- Une variable est une quantité qui peut prendre n'importe quelle valeur d'un ensemble donné.
- Une constante est une quantité qui a une valeur fixe.
Un monôme est une expression algébrique formée du produit d'une constante et de variables, chaque variable étant affectée d'un exposant entier positif ou nul.
- Un polynôme est une expression algébrique formée d'une somme de monômes.
- Chaque monôme est un terme du polynôme.
- Un polynôme à deux termes est appelé binôme.
- Un polynôme à trois termes est appelé trinôme.
Degrés d'un terme
Le degré d'un terme est la somme des exposants qui affectent ses variables. Le degré d'un terme constant est 0. Le degré d'un polynôme est le plus grand des degrés de ses termes.
Exemples
- <m>17x^2yz^8</m> est un monôme de degré 11, car 2 + 1 + 8 = 11.
- Le degré des termes d'un polynôme <m>9-5xy+7x^3-x^6</m> sont respectivement 0, 2, 3 et 6. C'est donc un polynôme de degré 6.
Factorisation de polynômes
- Mise en évidence simple : <m>ax + ay = a(x+y)</m>
- Double mise en évidence : <m>ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (x+y)(a+b)</m>
- Différence de carrés : <m>x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)</m>
- Somme de carrés : <m>x^2 + y^2</m> ne se factorise pas.
- Trinôme de carré parfait : <m>x^2 pm 2xy + y^2 = (x pm y)^2</m>
- Différence de cubes : <m>x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)</m>
- Somme de cubes : <m>x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)</m>
- Trinôme général avec <m>a=1</m> : <m>x^2+bx+c=(x+u)(x+v)</m>, où <m>u+v=b</m> et <m>uv=c</m>
- Trinôme général avec <m>a<>1</m> : <m>ax^2+bx+c=(mx+u)(nx+v)</m>, où <m>mn=a</m>, <m>uv=c</m> et <m>mv+</m>n<m>u=b</m>
Division de deux polynômes
Tout comme pour la division de nombres décimaux, la méthode la plus utilisée pour diviser un polynôme par un autre polynôme est celle des crochets (les polynômes doivent être ordonnés). Par contre, cette fois-ci, le diviseur ne sera pas un nombre mais une expression algébrique.
Exemple :
Soit
Nous écrirons notre division avec un crochet comme ceci:
Comme nous l'avons fait pour les nombres, nous devons trouver par quel terme il faut multiplier le premier terme du polynôme diviseur pour avoir comme produit le premier terme du dividende (<m>3x*?=24x^2</m>). Nous ne nous préoccupons pas des autres termes du diviseur à cette étape. Dans ce cas-ci, nous devons le multiplier par <m>8x</m>, car (<m>3x*8x=24x^2</m>).
Nous écrivons donc <m>8x</m> sous le crochet (comme pour la division de nombres) et nous effectuons la multiplication pour inscrire le résultat sous le polynôme à diviser. Ici nous devons tenir compte des autres termes du diviseur, les multiplier et les placer sous le dividende, à la suite du premier terme.
Nous soustrayons ensuite ce produit du dividende et nous abaissons le terme suivant; 45 dans ce cas-ci.
Dans le cas présent, nous poursuivons en trouvant par quel terme le diviseur doit être multiplié pour obtenir comme produit le premier terme de ce nouveau polynôme. Nous trouvons que nous devrons multiplier par 9.
Nous additionnons donc 9 à notre réponse, nous effectuons le multiplication et nous inscrivons le résultat sous ce qu'il reste du polynôme à diviser.
Enfin, nous soustrayons ce produit du polynôme précédent.
Puisque nous n'avons plus de termes à abaisser, la division est terminée et le quotient cherché est <m>8x+9</m>.
Nous pouvons vérifier l'exactitude de cette réponse en effectuant l'opération inverse, c'est-à-dire en multipliant le quotient par le diviseur pour vérifier que nous arrivons au dividende; soit :
Il se peut qu'au cours de la division, il apparaisse un terme qui n'a pas de terme semblable dans le dividende ou que la division ne donne pas une réponse exacte, car, tout comme lors de la division d'entiers, il est possible d'obtenir un reste. Dans le premier cas, nous ajouterons un terme nul (zéro fois ce terme) pour permettre d'effectuer la soustraction. Dans le second cas nous ajouterons à notre réponse une fraction algébrique représentant la division du reste par le diviseur.
Les racines et les exposants fractionnaires
Une racine nième (ne) du nombre réel a est un nombre réel b tel que bn = a, où n est un entier supérieur ou égal à 2.
Propriété 1
Si n est un entier impair, tout nombre réel a possède une seule racine ne dans <m>bbR</m>. On désigne cette racine par <m>root{n}{a}</m>.
<m>root{}{}</m> est le radical et n l'indice du radical. <m>root{n}{a}</m> a le même signe que a.
Exemples
- 4 est une racine cinquième de 1 024, puisque 45 = 1 024
- -4 est aussi une racine cinquième de 1 024, puisque -45 = 1 024
- -2 est une racine cinquième de -32, car -25 = -32. Dans <m>bbR</m>, il n'existe aucun autre nombre réel b tel que b5 = -32.
Propriété 2
<m>a^{m/n} = (root{n}{a})^m = root{n}{a^m}</m>, si chaque racine ne existe.
Exemples
- <m>3^{1/4} = root{4}{3}</m>
- <m>8^{2/3} = (root{3}{8})^2 = 2^2 = 4</m> et aurait pu être <m>8^{2/3} = root{3}{8^2} = root{3}{64} = 4</m>
Propriété 3
Si chacune des racines ne existe,
<m>root{n}{ab} = root{n}{a} * root{n}{b}</m>
<m>root{n}{a/b} = root{n}{a}/root{n}{b}</m> (si <m>b<>0</m>)
Exemples
- <m>sqrt{48} = sqrt{16*3} = sqrt{16} * sqrt{3} = 4sqrt{3}</m>
- <m>root{3}{8/27} = root{3}{8}/root{3}{27} = 2/3</m>
Propriété 4
On peut additionner ou soustraire des racines si elles ont le même indice et la même expression sous le radical.
Exemples
- <m>4root{3}{5} + 7root{3}{5} = 11root{3}{5}</m>
Autres propriétés
- <m>a^0 = 1</m> si <m>a <> 0</m>
- <m>a^m * a^n = a^{m+n}</m>
- <m>(a^m)^n = a^{m*n}</m>
- <m>a^m/a^n = a^{m-n}</m>
- <m>(ab)^m = a^m * b^m</m>
- <m>(a/b)^m = a^m/b^m</m>
- <m>a^-n = 1/a^n</m>
Ressources
- Gingras, Michèle. Mathématiques d'appoint, 3e édition. Beauchemin éditeur, 2005. 492p.
- Bolduc, Annie. 2000. Math-O-Matique. Guérin Éditeur ltée.